Tích của các đoạn thẳng nối điểm giữa các cạnh một tứ giác bất kì có bằng diện tích của tứ giác không?

Tích của các đoạn thẳng nối điểm giữa các cạnh một tứ giác bất kì có bằng diện tích của tứ giác không?
Tích của các đoạn thẳng nối điểm giữa các cạnh một tứ giác bất kì có bằng diện tích của tứ giác không?

Về vấn đề này nhà toán học Trung Quốc Hoa La Canh đã từng bàn đến. Điều này hoàn toàn hiển nhiên đối với hình vuông hoặc hình chữ nhật. Nhưng đối với một tứ giác bất kì thì liệu điều đó có chính xác không?

Xét một tứ giác ABCD bất kì, các đoạn nối các điểm giữa các cạnh là EGFH cắt nhau tại P, P sẽ là trung điểm của EGFH. Ta hãy tưởng tượng có 4 quả cầu nhỏ đặt tại các đỉnh A, B, C, D, mỗi quả cầu cho 1 lực tác dụng là 10N (N: đơn vị đo lực, đọc là niutơn). Hợp lực của hai quả cầu đặt tại A, B sẽ cho hợp lực tác dụng tại điểm E, hợp lực tác dụng khoảng trên dưới 20 N; các quả cầu nhỏ C, D cho hợp lực đặt tại điểm G có giá trị gần 20 N. Như vậy bốn quả cầu sẽ cho hợp lực đặt tại trung điểm của EG là đường nối các trung điểm với hợp lực gần 40 N. Cùng lí do tương tự, bốn quả cầu cũng cho hợp lực tác dụng tại trung điểm của FH gần 40 N. Như vậy bốn quả cầu sẽ cho hợp lực tác dụng tại trung điểm của EG và FH là điểm duy nhất và điểm P là trung điểm của EGFH.

Lại giả sử ta dùng kéo cắt tứ giác theo các đường EG, FH thành bốn mảnh và lấy các điểm H, G, F làm bản lề, kéo căng các mảnh để AH trùng với DHDG trùng với CG. Do tổng bốn góc trong của tứ giác là 360o, nên . Lúc cạnh AE của mảnh I trùng với cạnh BE của mảnh thứ II, dễ thấy là lúc bấy giờ ta lại nhận một hình tứ giác mới là một hình bình hành, mà các cạnh đối từng đôi bằng tổng của EG + FH, và bốn góc trong là các góc kề bù nhau. Diện tích hình bình hành mới này rõ ràng bằng diện tích của hình tứ giác cũ nên:

Bạn có muốn biết  Cách tính nhanh các tích số của các con số gần với 10..., 100..., 1000...

Trong biểu thức ở trên dấu = chỉ xuất hiện khi

Vì vậy tích của hai đường nối các trung điểm rõ ràng lớn hơn diện tích của tứ giác.

Từ khoá: Hình tứ giác và diện tích.

Bạn có hài lòng với câu trả lời không?
[Lượt đánh giá: 0 Trung bình: 0]

Leave a Comment

Your email address will not be published.