Đáp án: $x\in\{-2,0,1\}$

Giải thích các bước giải:

Để $x^2-x+1$ thuộc ước của $3x-1$

$\to \dfrac{3x-1}{x^2-x+1}\in Z$

Đặt $k=\frac{3x-1}{x^2-x+1}\to k\in Z$

Vì $x\in Z\to 3x-1\ne 0\to k\ne 0$

$\to k(x^2-x+1)=3x-1$

$\to kx^2-x(k+3)+(k+1)=0(*)$

Vì $k\ne 0\to$Phương trình $(*)$ là phương trình bậc $2$

$\to$Để tồn tại $x$ thì $(*)$ có nghiệm
$\to \Delta=(k+3)^2-4k(k+1)\ge 0$

$\to -3k^2+2k+9\ge 0$

$\to 3k^2-2k-9\le 0$

$\to 3\left(k-\frac{1}{3}\right)^2\le \frac{28}{3}$

$\to \left(k-\frac{1}{3}\right)^2\le \frac{28}{9}$

$\to -\sqrt{\frac{28}{9}}\le \:k-\frac{1}{3}\le \sqrt{\frac{28}{9}}$

$\to \frac{-2\sqrt{7}+1}{3}\le \:k\le \frac{2\sqrt{7}+1}{3}$

Mà $k\in Z\to k\in\{-1,0,1,2\}$

Do $k\ne 0 (cmt)\to k\in\{-1,1,2\}$

Với $k=-1\to -(x^2-x+1)=3x-1\to x\in\{-2,0\}$

Với $k=1\to (x^2-x+1)=3x-1\to x=2\pm\sqrt{2}$ (loại)

Với $k=2\to (x^2-x+1)=3x-1\to x=1$ vì $x\in Z$