a) Ta có: ABCD là hình thang cân nên AB=CD(1)

Mà M, N lần lượt là trung điểm của AD, BC (gt) (2)

Từ (1) và (2) ⇒ $\left \{ {{AM=DM} \atop {BN=NC}} \right.$ (3) 

Lại có: MH = $\frac{1}{2}$ AD (tính chất đường trung tuyến trong tam giác vuông) (4)

Từ (3) và (4) ⇒ MH = NC

Có: AB//CD (gt)

Kẻ MH∩AB = {F}

Có: FB//CD (AB//CD)

⇒$\widehat{AFH}=\widehat{MHD}$(SLT)

Mà $\widehat{MDH}=\widehat{MHD}$(MD=MH ⇒ ΔDMH cân tại M)

⇒$\widehat{AFH}=\widehat{MDH}$

Lại có: $\widehat{MDH}=\widehat{NCH}$ (ABCD cân_gt)

⇒$\widehat{HFA}=\widehat{NCH}$

Ta có: + $\widehat{MHA}=\widehat{MAH}$ (MH=MA ⇒ ΔHMA cân tại M) (5)

+ $\left \{ {{FB//CD} \atop {AH\bot CD}} \right. \rightarrow AH \bot FB \rightarrow \widehat{BAH}=\widehat{CHA}=90^0$ (6)

+ $\left \{ {{\widehat{MAH}+\widehat{BAH}=\widehat{MAB}} \atop {\widehat{MHA}+\widehat{CHA}=\widehat{MHC}}} \right.$ (7)

Từ (5), (6) và (7) ⇒ $\widehat{MAB}=\widehat{MHC}$ (8)

Mà $\widehat{MAB}=\widehat{ABC}$ (ABCD cân_gt) (9)

Từ (8) và (9) ⇒ $\widehat{MHC}=\widehat{ABC}$

Từ các chứng minh trên ta có: $\left \{ {{\widehat{MHC}=\widehat{ABC}} \atop {\widehat{HFB}=\widehat{HCB}}} \right. \rightarrow FBCH$ là hình bình hành

⇒ FH//BC hay MH//NC (đpcm)

b) Ta có: MH//NC (cmt) và MH=NC (cmt)

⇒ Tứ giác MNCH là hình bình hành

⇒ MN = HC