1) Ta có: $\widehat{AMH} = 90^o$ (nhìn đường kình $AH$)

⇒ $\widehat{CMH} = 90^o$ 

$\widehat{BNH} = 90^o$ (nhìn đường kình $BH$)

⇒ $\widehat{CNH} = 90^o$

Xét tứ giác $CMHN$ có:

$\widehat{CMH} = 90^o$

$\widehat{CNH} = 90^o$

$\widehat{ACB} = 90^o$

Do đó $CMHN$ là hình chữ nhật

2) Do $CMHN$ là hình chữ nhật

nên $\widehat{CMN} = \widehat{HCM}$

mà $\widehat{HCM} = \widehat{HBC}$ (cùng phụ $\widehat{HCB}$)

⇒ $\widehat{CMN} = \widehat{HBC}$

Xét tứ giác $AMNB$ có:

$\widehat{CMN} = \widehat{HBC}$ $(cmt)$

mà $\widehat{CMN}$ là góc ngoài của $\widehat{AMN}$

nên $AMNB$ là tứ giác nội tiếp

3) Gọi $I$ là trung điểm $MN$

$O”$ là trung điểm $O$ và $O’$

Ta có: $\widehat{OMN} = \widehat{OMH} + \widehat{HMN}$

mà $\widehat{OMH} = \widehat{OHM}$

$\widehat{HMN} = \widehat{CHM}$

và $\widehat{OHM} + \widehat{CHM} = \widehat{CHA} = 90^o$

nên $\widehat{OMH} + \widehat{HMN} = 90^o$

hay $\widehat{OMN} = 90^o$

⇒ $OM\perp MN$

Chứng minh tương tự, ta được: $O’N\perp MN$

⇒ $OM // O’N$

Ta lại có: $O”I$ là đường trung bình của hình thang $OMNO’$ (cách dựng)

nên $O”I // OM // O’N$

⇒ $O”I$ vuông $MN$ $(1)$

Bên cạnh đó: $O”I = \dfrac{OM + O’N}{2}$ (tính chất đường trung bình)

⇒ $O”I = \dfrac{OH + O’H}{2} = \dfrac{OO’}{2}$

⇒ $O”I$ là bán kính đường tròn đường kính $(OO’)$ $(2)$

Từ $(1)(2)$ ⇒ $MN$ là tuyến của đường tròn đường kính $(OO’)$