Cho hai đường tròn (O) và (O’) ở ngoài nhau. Đường thẳng OO’ cắt (O) và (O’) lần lượt lại các điểm A, B, C, D. Kẻ tiếp tuyến chung ngoài EF của hai đường tròn (E ≠ (O), F ≠ (O’)) . Gọi M là giao điểm của AE và DF, N là giao điểm của EB và DC. Chứng minh rằng:
a) Tứ giác MENF là hình chữ nhật.
b) MN ⊥ AD
c) ME.MA = MF.MD.
Nguyễn TháiTeacher
Đáp án:
Giải thích các bước giải:
a) Ta có: ∠AEB = ∠CFD = 90o
Vì EF là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (O) và (O’) nên
OE ⊥ EF
OF’ ⊥ EF
=> OE // OF’
=> ∠EOB = ∠FO’D (đồng vị)
=> ∠EAO = ∠FCO’
Do đó MA // FN, mà EB ⊥ MA => EB ⊥ FN.
Hay ∠FNB = 90o
Tứ giác MENF có ∠E = ∠N = ∠F = 90o nên là hình chữ nhật.
b) Gọi I là giao điểm của MN và EF, H là giao điểm của MN và AD. Vì tứ giác MENF là hình chữ nhật nên ∠IFN = ∠INF .
Mặt khác trong đường tròn (O’): ∠FDO = ∠IFN = 1/2Sđ FC.
Do đó: ∠FDC = ∠HNC
Suy ra: ΔFDC ∼ ΔHNC (g.g) => ∠NHC = ∠DFC = 90o hay MN ⊥ AD
c) Ta có: ∠MFE = ∠FEN (do MENF là hình chữ nhật).
Trong đường tròn (O): ∠FEN = ∠EAB = 1/2Sđ EB
Do đó:∠MFE = ∠EAB .
Suy ra: ΔMEF ∼ ΔMDA (g.g)
=> ME/MD = MF/MA => ME.MA = MF.MD