`1)`

Có `A=x^3+y^3+xy+1=(x^3+y^3)+xy+1=(x+y)(x^2-xy+y^2)+xy+1.`

Thay `x+y=1` vào `A` ta có:

`A=x^2-xy+y^2+xy+1=x^2+y^2+1.`

Có: `x^2-2xy+y^2 \ge0 ⇔ x^2+ y^2 \ge 2xy ⇔ 2(x^2+y^2) \ge x^2 + 2xy + y^2 = (x+y)^2 = 1^2 =1.`

`⇒ x^2 + y^2 \ge 1/2.`

`⇒  A \ge 1/2 + 1 = 3/2.`

Dấu ”=” xảy ra khi `x=y=1/2.`

Vậy $MinA$`= 3/2 ⇔ x = y=1/2.`

`2)` Giả sử: `a^3+b^3+c^3 = 3abc`

`⇔a^3+b^3+c^3 -3abc =0`

`⇔a^3+b^3+c^3+3ab(a+b)-3ab(a+b) -3abc =0`

`⇔[a^3+3ab(a+b)+b^3]+c^3-3ab(a+b) -3abc =0`

`⇔(a^3+3a^2b+3ab^2+b^3)+c^3-3ab(a+b) -3abc =0`

`⇔(a+b)^3+c^3-3ab(a+b) -3abc =0`

`⇔[(a+b)^3+c^3]-[3ab(a+b) +3abc]=0`

`⇔(a+b+c)[(a+b)^2-(a+b)c+c^2] – 3ab(a+b+c)=0`

`⇔(a+b+c)(a^2+2ab+b^2-ac-bc+c^2-3ab)=0`

`⇔(a+b+c)(a^2+2ab+b^2-ac-bc+c^2-3ab)=0`

`⇔(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc)=0`

Mà `a+b+c=0`

`⇒(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc)=0`

`⇔0.(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc)=0` ( luôn đúng ) ⇒ giả sử đúng.

Vậy `a^3+b^3+c^3 = 3abc.`

Cho mình câu trả lời hay nhất nha. Cảm ơn!